Calculs d'aire

Dans cette activité, on découvre comment calculer l'aire de la partie du plan située au-dessous de la courbe représentative d'une fonction définie et positive sur un intervalle \([a~;b]\).
En effet, lorsqu’une fonction est positive, sa courbe reste au-dessus de l’axe des abscisses. L’idée est alors de comprendre comment calculer l’aire comprise entre cette courbe, l’axe des abscisses et les deux droites verticales d'équations \(x=a\) et \(x=b\). La figure suivante illustre la situation.

Cette approche graphique permet de faire le lien entre l’aire sous la courbe et une nouvelle notion que vous allez bientôt formaliser : l’intégrale d’une fonction sur un intervalle. L’objectif est d’en comprendre le sens avant d’en étudier les propriétés.

Partie A : aires particulières

Voici deux cas où l'on sait déjà calculer l'aire sous la courbe. Dans chaque situation, la partie du plan dont on cherche à calculer l'aire est nommée domaine.

1. Avec une fonction constante
Soit \(f\) la fonction constante définie, pour tout \(x ∈ [1~;~4]\), par \(f (x) = 2\).
Soit \(\mathcal C\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'un plan, d'unité d'aire \(1\) cm² représentée dans la figure suivante.

Calculer l’aire, en cm², du domaine \(\mathscr D\).

2. Avec une fonction affine
On se place dans un repère orthonormal d'un plan, d'unité d'aire \(1\) cm².
Soit \(\text A(-2~;~1)\) et \(\text B(2~;~3)\).
Le domaine \(\mathscr D\) est délimité par la droite \((\text A\text B)\), l'axe des abscisses et les droites d’équations \(x = -2\) et \(x = 2\).
La situation est représentée dans un repère orthonormal d'un plan, d'unité d'aire \(1\) cm².​​​

Donner l’aire, en cm², de ce domaine \(\mathscr D\).

Partie B : aire sous une parabole - Lecture graphique

Soit \(f\) la fonction carré définie sur l'intervalle \([0~;~1]\).
On se place dans le repère orthonormé du plan \((\text {O, I, J)}\). La courbe représentative de \(f\) dans ce repère, notée \(\mathcal C\), est une branche de parabole.

On considère le domaine \(\mathscr D\) délimité par la courbe \(\mathcal C\) (en vert), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x=0\) et \(x=1\). La situation est illustrée dans la figure suivante.

À l'aide du quadrillage, donner une valeur approchée de l'aire du domaine, en unités d'aire.

Partie C : aire sous une parabole - Méthode des rectangles

Soit \(f\) la fonction carré définie sur l'intervalle \([0~;~1]\).
On se place dans un repère orthonormé d'un plan. La courbe représentative de \(f\) dans ce repère, notée \(\mathcal C\), est une branche de parabole.

On considère le domaine \(\mathscr D\) délimité par la courbe \(\mathcal C\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x=0\) et \(x=1\). 

Dans cette partie, on explore la méthode des rectangles.
Elle permet de donner une valeur approchée de l'aire sous la courbe d'une fonction.

Dans le fichier de géométrie dynamique suivant est représenté le domaine \(\mathscr D\) délimité par la courbe \(\mathcal C\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x=0\) et \(x=1\), ainsi que deux séries de rectangles : l'une rouge et l'autre verte. Les rectangles rouges sont appelés « rectangles inférieurs », les rectangles verts sont appelés « rectangles supérieurs ».
Les réels Sup et Inf correspondent, respectivement, à la somme des aires, en unités d'aire (u.a.), des rectangles rouges et des rectangles verts. Le curseur \(n\) permet de faire varier le nombre de rectangles.
1. En observant le fichier de géométrie dynamique, expliquer comment fonctionne la méthode des rectangles et conjecturer comment elle permet d'estimer l'aire du domaine. On précisera en particulier comment sont construits les rectangles rouges et les rectangles verts.
2. En faisant varier le curseur \(n\), conjecturer une valeur de l'aire du domaine \(\mathscr D\), en unités d'aire (u.a.).

Partie D : protocole de construction des rectangles

Dans cette perle, la méthode de construction des rectangles inférieurs est formalisée.
Dans le texte suivant, retrouver les éléments identifiés dans la partie C et corriger/compléter votre proposition de protocole.
Que faut-il changer pour écrire le protocole de construction des rectangles supérieurs ?

Protocole
Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a<b\) .
On considère une fonction \(f\) strictement croissante et positive sur \([a~;~b]\).
Soit \(\mathcal C\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
On cherche à calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine \(\mathscr D\) délimité par la courbe \(\mathcal C\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x=a\) et \(x=b\).

• Première étape : subdivision de l'intervalle
  

Soit \(n\) et \(h\) deux entiers strictement positifs.
On divise l'intervalle \([a~;~b]\) en \(n\) intervalles de longueur égale à \(h\).
On dit que \(n\) est le nombre de subdivisions de l'intervalle \([a~;~b]\).
Le nombre \(h\) est appelé pas de subdivision. On a donc \(h = \dfrac{b - a}{n}\).
Par exemple, l'intervalle \([1~ ; 2]\) est de longueur \(1\) (car \(2 - 1 = 1\)). 
Si \(n = 4\), alors on découpe en \(4\) un intervalles de longueur \(1\). Ainsi, \(h = \dfrac{1}{4}=0{,}25\). 

• Seconde étape : construction des rectangles inférieurs
  

On pose \(x_0=a\) et \(x_n=b\).
On considère les points \(\text A_0\) de coordonnées \((x_0~;~f (x_0))\), \(\text B_0\) de coordonnées \((x_0~;~0)\), \(\text B_1\) de coordonnées \((x_0 +h~;~0)\) et \(\text C_0\) de coordonnées \((x_0 +h~;~f (x_0))\).
On s'intéresse au rectangle \(\text A_0\text B_0 \text B_1\text C_0\).
Son aire, en unités d'aire, est \(\text A_0\text B_0 ×\text B_0\text B_1 = f (x_0)×h\).

Soit \(\text A_1\)le point de \(\mathcal C\) de même abscisse que \(\text B_1\) (et \(\text C_0\)).
On a donc \(\text A_1(x_0 +h~;~f (x_0 +h))\).
On construit, selon le même procédé, le rectangle \(\text A_1\text B_1\text B_2\text C_1\).
Son aire, en unités d'aire, est \(\text A_1\text B_1 ×\text B_1\text B_2 = f (x_0 +h)×h\).
De la même manière, l'aire du rectangle suivant est : \(f (x_0 +2h)×h\).
On réitère ainsi le processus \(n\) fois.
En faisant la somme des aires des \(n\) rectangles obtenus, on obtient une approximation de l'aire, en unités d'aire, du domaine \(\mathscr D\) par valeurs inférieures.

Partie E : aire sous une parabole : méthode des rectangles - Démonstration

Soit \(f\) la fonction carré définie sur l'intervalle \([0~;~1]\) par \(f(x) = x^2\).
On se place dans un repère orthogonal d'un plan. La courbe représentative de \(f\) dans ce repère, notée \(\mathcal C\), est une branche de parabole.
On considère le domaine \(\mathscr D\) délimité par la courbe \(\mathcal {C}\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x=0\) et \(x=1\).

Dans cette partie, on calcule un encadrement de l'aire \(\mathcal A\) du domaine `\mathcal D`, puis on démontre que  \(\mathcal{A}=\dfrac{1}{3}\).

1. Pour réaliser un encadrement de \(\mathcal A\), on utilise la méthode des rectangles et on subdivise l'intervalle \([0~;1]\) en quatre sous-intervalles, chacun de longueur \(0{,}25\). On construit ensuite quatre rectangles « inférieurs » et quatre rectangles « supérieurs ».
Montrer que \(\dfrac{7}{32} \leqslant \mathcal{A} \leqslant \dfrac{15}{32}\) où \(\mathcal{A}\) représente l'aire exacte du domaine `\mathcal D`.

2. Soit \(n\) un entier strictement positif. Généraliser le calcul précédent avec \(n\) sous-intervalles de même longueur \(\dfrac{1}{n}\).
Montrer que \(\dfrac{1}{n^3}\left[1^2 + 2^2 + ... + (n-1)^2\right] \leqslant \mathcal{A} \leqslant \dfrac{1}{n^3}\left[1^2 + 2^2 + ... + (n-1)^2 + n^2\right]\).

3. On admet que la somme des carrés des \(n\) premiers entiers naturels est donnée par :

\(1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\).

Montrer que \(\dfrac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3} \leqslant \mathcal{A} \leqslant \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}\).

4. Montrer que \(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{6n^2} \leqslant \mathcal{A} \leqslant \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{6n^2}\).

5. Que dire de cet encadrement lorsque \(n\) devient « très grand » ?

Partie F : avec un programme en Python

On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x)=x^2\) pour tout \(x \in [0~;~1]\). 
Soit \(\mathcal C\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
On s'intéresse à l'aire, en unités d'aire, du domaine \(\mathscr D\) délimité par la courbe \(\mathcal C\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x=0\) et \(x=1\).

On peut programmer un algorithme en langage Python pour effectuer des calculs d'approximation de plus en plus précis de l'aire du domaine \(\mathscr D\), en utilisant la méthode des rectangles.

1. Expliquer les lignes 2, 6 et 7 de cet algorithme.
2. Faire tourner le code et retrouver un encadrement de l'aire de `\mathcal D`.
3. Modifier le code afin d'estimer l'aire du domaine \(\mathscr D\) délimité par la courbe représentative de la fonction cube, l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x=0\) et \(x=1\).